ادامه حل تمرین صفحه 25 ریاضی و آمار دوازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به مقایسهٔ بیان کلامی و نماد ریاضی عملگرهای مجموعه در پیشامدها می‌پردازد. --- ### الف) ناحیهٔ اشتراک سه مجموعه * **توصیف کلامی:** پیشامد اینکه **هر سه پیشامد $athbf{A}$ و $athbf{B}$ و $athbf{C}$ همزمان رخ دهند.** * **عبارت مجموعه‌ای:** $\mathbf{A} \cap \mathbf{B} \cap \mathbf{C}$ --- ### ب) ناحیهٔ اجتماع سه مجموعه * **توصیف کلامی:** پیشامد اینکه **حداقل یکی از سه پیشامد $athbf{A}$ یا $athbf{B}$ یا $athbf{C}$ رخ دهد.** * **عبارت مجموعه‌ای:** $\mathbf{A} \cup \mathbf{B} \cup \mathbf{C}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله شامل ساخت اعداد دو رقمی بدون تکرار، با حضور $\mathbf{0}$ در بین ارقام است، که ابتدا باید تعداد کل حالت‌ها را مشخص کنیم. **ارقام موجود:** $\mathbf{\left\{ 0, 1, 2, 3, 4 \right\}}$ ($\mathbf{5}$ رقم) **شرط:** عدد دو رقمی (بدون تکرار ارقام) --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) فضای نمونه شامل تمام اعداد $athbf{2}$ رقمی است که می‌توان ساخت. (تکرار مجاز نیست.) 1. **جایگاه ۱ (دهگان):** $athbf{4}$ انتخاب ($\mathbf{0}$ ممنوع) 2. **جایگاه ۲ (یکان):** $athbf{4}$ انتخاب (۴ رقم باقیمانده، شامل $\mathbf{0}$) $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 4 \times 4 = 16 \text{ عدد}$$ $$\mathbf{S} = \left\{ 10, 12, 13, 14, 20, 21, 23, 24, 30, 31, 32, 34, 40, 41, 42, 43 \right\}$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (عدد روی کارت $athbf{مضرب 6}$ باشد) مضرب‌های $athbf{6}$ باید $athbf{زوج}$ باشند و $athbf{مجموع ارقامشان مضرب 3}$ باشد. مضرب‌های $athbf{6}$ در $athbf{S}$ عبارتند از: * $\mathbf{6} \times 2 = 12$ ($athbf{12}$ در $athbf{S}$ هست.) * $\mathbf{6} \times 3 = 18$ ($athbf{18}$ در $athbf{S}$ نیست.) * $\mathbf{6} \times 4 = 24$ ($athbf{24}$ در $athbf{S}$ هست.) * $\mathbf{6} \times 5 = 30$ ($athbf{30}$ در $athbf{S}$ هست.) * $\mathbf{6} \times 6 = 36$ ($athbf{36}$ در $athbf{S}$ نیست.) * $\mathbf{6} \times 7 = 42$ ($athbf{42}$ در $athbf{S}$ هست.) $$\mathbf{A} = \left\{ 12, 24, 30, 42 \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 4$$ --- ### پ) پیشامد $athbf{B}$ (عدد روی کارت $athbf{اول}$ باشد) اعداد اول $athbf{2}$ رقمی در $athbf{S}$ عبارتند از: * $athbf{10, 12, 13, 14, 20, 21, 23, 24, 30, 31, 32, 34, 40, 41, 42, 43}$ * $athbf{13}$ (اول است.) * $athbf{23}$ (اول است.) * $athbf{31}$ (اول است.) * $athbf{41}$ (اول است.) * $athbf{43}$ (اول است.) $$\mathbf{B} = \left\{ 13, 23, 31, 41, 43 \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 5$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به تعیین فضای نمونه و پیشامدهای مختلف در **آزمایش تولد فرزندان** است. ($athbf{P}$ برای پسر و $athbf{D}$ برای دختر). --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) هر فرزند $athbf{2}$ حالت دارد، پس $athbf{2^3 = 8}$ حالت ممکن داریم: $$\mathbf{S} = \left\{ \text{PPP}, \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP}, \text{PDD}, \text{DPD}, \text{DDP}, \text{DDD} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 8$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (هر سه فرزند از یک جنس باشند) یعنی هر سه پسر ($athbf{PPP}$) یا هر سه دختر ($athbf{DDD}$): $$\mathbf{A} = \left\{ \text{PPP}, \text{DDD} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 2$$ --- ### پ) پیشامد $athbf{B}$ (فقط یک فرزند دختر باشد) یعنی $athbf{2}$ پسر و $athbf{1}$ دختر: $$\mathbf{B} = \left\{ \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = 3$$ --- ### ت) پیشامد $athbf{C}$ (حداقل $athbf{2}$ فرزند پسر باشند) حداقل $athbf{2}$ پسر یعنی $athbf{2}$ پسر یا $athbf{3}$ پسر: $$\mathbf{C} = \left\{ \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP}, \text{PPP} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 4$$ --- ### ث) پیشامد $athbf{D}$ (حداکثر $athbf{1}$ فرزند پسر باشد) حداکثر $athbf{1}$ پسر یعنی $athbf{0}$ پسر یا $athbf{1}$ پسر: $$\mathbf{D} = \left\{ \text{DDD}, \text{PDD}, \text{DPD}, \text{DDP} \right\}$$ $$\mathbf{n}(\mathbf{D}) = 4$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به بررسی فضای نمونه و پیشامدها برای $athbf{4}$ فرزند می‌پردازد. --- ### الف) تعداد اعضای فضای نمونه ($athbf{S}$) برای $athbf{4}$ فرزند، تعداد کل حالت‌های ممکن ($\mathbf{2^4}$) است: $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 2^4 = \mathbf{16}$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (دو فرزند سوم و چهارم $athbf{دختر}$ باشند) جنسیت فرزندان اول و دوم ($\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2$) می‌تواند هر چیزی باشد، اما فرزندان سوم و چهارم ($\mathbf{F}_3, \mathbf{F}_4$) باید $athbf{D}$ باشند. * $athbf{F}_1, \mathbf{F}_2$: $athbf{2} \times \mathbf{2} = 4$ حالت (RR, RP, PR, PP) * $athbf{F}_3, \mathbf{F}_4$: $athbf{1} \times \mathbf{1} = 1$ حالت ($athbf{DD}$) $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 4$$ $$\mathbf{A} = \left\{ \text{PPDD}, \text{PDPD}, \text{DPDD}, \text{DDDD} \right\}$$ (با فرض $athbf{P}$ و $athbf{D}$ برای فرزندان اول و دوم) --- ### پ) پیشامد $athbf{C}$ (تعداد دختر بیشتر از پسر باشد) تعداد کل فرزندان ۴ است. تعداد $athbf{D} >$ تعداد $athbf{P}$ یعنی: * $athbf{3}$ دختر و $athbf{1}$ پسر ($athbf{3D, 1P}$) * $athbf{4}$ دختر و $athbf{0}$ پسر ($athbf{4D, 0P}$) 1. **حالت $athbf{3D, 1P}$:** $inom{4}{3} = 4$ حالت (Pddd, Dpdd, DdPd, DddP) 2. **حالت $athbf{4D, 0P}$:** $inom{4}{4} = 1$ حالت (DDDD) $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 4 + 1 = 5$$ $$\mathbf{C} = \left\{ \text{PDDD}, \text{DPDD}, \text{DDPD}, \text{DDDP}, \text{DDDD} \right\}$$ --- ### ت) آیا پیشامدهای $athbf{A}$ و $athbf{C}$ ناسازگارند؟ **بررسی اشتراک ($athbf{A} \cap athbf{C}$):** * $athbf{A}$ شامل حالت‌هایی است که دو فرزند آخر $athbf{DD}$ باشند. * $athbf{C}$ شامل حالت‌هایی است که $athbf{3D}$ یا $athbf{4D}$ باشند. حالت مشترک $athbf{DDDD}$ در هر دو مجموعه وجود دارد: $$\mathbf{A} \cap \mathbf{C} = \left\{ \dots, \text{DDDD} \right\} \cap \left\{ \dots, \text{DDDD} \right\} = \mathbf{\left\{ \text{DDDD} \right\} \ne \emptyset}$$ **پاسخ:** **خیر، ناسازگار نیستند.** زیرا حالت **$athbf{DDDD}$** (هر چهار فرزند دختر) در هر دو پیشامد مشترک است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله ترکیبی از **ترکیب** برای محاسبه تعداد حالت‌ها و **احتمال کلاسیک** است. (تعداد کل سیب‌ها: $\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 12 + 5 = 17$). **فضای نمونه:** تعداد کل راه‌های انتخاب $athbf{3}$ سیب از $athbf{17}$ سیب: $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = \binom{17}{3} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 17 \times 8 \times 5 = \mathbf{680}$$ --- ### الف) هر سه سیب سالم باشند (پیشامد $A$) باید $athbf{3}$ سیب از $athbf{12}$ سیب سالم انتخاب شود و $athbf{0}$ از $athbf{5}$ سیب لکه‌دار. (اصل ضرب) $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = \binom{12}{3} \times \binom{5}{0} = \left( \frac{12 \times 11 \times 10}{6} \right) \times 1 = 220 \times 1 = 220$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{220}{680} = \mathbf{\frac{11}{34}}$$ --- ### ب) دو سیب سالم و یک سیب لکه‌دار باشد (پیشامد $B$) باید $athbf{2}$ سیب از $athbf{12}$ سالم و $athbf{1}$ سیب از $athbf{5}$ لکه‌دار انتخاب شود. (اصل ضرب) $$\mathbf{n}(\mathbf{B}) = \binom{12}{2} \times \binom{5}{1} = \left( \frac{12 \times 11}{2} \right) \times 5 = 66 \times 5 = 330$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{B}) = \frac{330}{680} = \mathbf{\frac{33}{68}}$$ --- ### پ) تعداد سیب‌های سالم از تعداد سیب‌های لکه‌دار بیشتر باشد (پیشامد $C$) تیم $athbf{3}$ نفره است. $athbf{سالم} > \mathbf{لکه‌دار}$ به دو حالت تقسیم می‌شود (اصل جمع): * **حالت ۱: $athbf{3}$ سالم و $athbf{0}$ لکه‌دار:** $athbf{n}(\mathbf{A}) = 220$ (همان قسمت الف) * **حالت ۲: $athbf{2}$ سالم و $athbf{1}$ لکه‌دار:** $athbf{n}(\mathbf{B}) = 330$ (همان قسمت ب) $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 220 + 330 = 550$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{C}) = \frac{550}{680} = \mathbf{\frac{55}{68}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این مسئله فرض می‌کند که هر ۸ ناحیهٔ چرخنده **مساوی** هستند، بنابراین احتمال آمدن عقربه روی هر ناحیه $\mathbf{1/8}$ است. **فضای نمونه ($athbf{S}$):** $\mathbf{S = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \right\}}$. $\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 8$. --- ### الف) عقربه روی یک عدد $athbf{اول}$ بایستد (پیشامد $A$) اعداد اول در $\mathbf{S}$ عبارتند از: $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = 4$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{4}{8} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ --- ### ب) عقربه روی یک عدد $athbf{اول}$ یا $athbf{فرد}$ را نشان دهد (پیشامد $B = A \cup F$) 1. **پیشامد $athbf{A}$ (اول):** $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{A}) = 4/8$ 2. **پیشامد $athbf{F}$ (فرد):** $athbf{\left\{ 1, 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{F}) = 4/8$ 3. **اشتراک ($athbf{A} \cap athbf{F}$ - اول و فرد):** $athbf{\left\{ 3, 5, 7 \right\}}$. $athbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{F}) = 3/8$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{F}) = \mathbf{P}(\mathbf{A}) + \mathbf{P}(\mathbf{F}) - \mathbf{P}(\mathbf{A} \cap \mathbf{F})$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{F}) = \frac{4}{8} + \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$ --- ### پ) عقربه روی یک عدد $athbf{مضرب 3}$ بایستد (پیشامد $C$) مضرب‌های $athbf{3}$ در $athbf{S}$ عبارتند از: $athbf{\left\{ 3, 6 \right\}}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{C}) = 2$$ $$\mathbf{P}(\mathbf{C}) = \frac{2}{8} = \mathbf{\frac{1}{4}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۲۵ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این یک مسئلهٔ **جایگشت** است که در آن می‌خواهیم احتمال وقوع یک حالت خاص را محاسبه کنیم. **تعریف میله‌ها و پرچم‌ها:** * $athbf{7}$ پرچم متمایز ($athbf{P}_1, \dots, \mathbf{P}_7$) * $athbf{7}$ میله متمایز با شماره ($athbf{M}_1, \dots, \mathbf{M}_7$) --- ### الف) فضای نمونه ($athbf{S}$) تعداد کل حالت‌های ممکن برای قرارگیری $athbf{7}$ پرچم در $athbf{7}$ میله: $athbf{7!}$ $$\mathbf{n}(\mathbf{S}) = 7! = 5,040$$ --- ### ب) پیشامد $athbf{A}$ (پرچم‌های شماره اول در جایگاه مطابق با شماره خود باشند) **شرط:** پرچم‌ها فقط باید روی میله‌هایی با **شمارهٔ اول** قرار گیرند که با **شمارهٔ خودشان** تطابق داشته باشد. * **شماره‌های اول:** $athbf{\left\{ 2, 3, 5, 7 \right\}}$ (از بین ۱ تا ۷) **تعداد اعضای پیشامد ($athbf{n}(\mathbf{A})$):** * **میله $athbf{2}$:** فقط پرچم $athbf{2}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{3}$:** فقط پرچم $athbf{3}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{5}$:** فقط پرچم $athbf{5}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) * **میله $athbf{7}$:** فقط پرچم $athbf{7}$ می‌تواند قرار گیرد. ($athbf{1}$ انتخاب) $athbf{4}$ پرچم در $athbf{4}$ میلهٔ اول ثابت شده‌اند. $athbf{3}$ پرچم باقیمانده ($athbf{P}_1, \mathbf{P}_4, \mathbf{P}_6$) باید در $athbf{3}$ میلهٔ باقیمانده ($athbf{M}_1, \mathbf{M}_4, \mathbf{M}_6$) قرار گیرند. این یک جایگشت $athbf{3}$ شیء است. $$\mathbf{n}(\mathbf{A}) = (1 \times 1 \times 1 \times 1) \times 3! = 6$$ --- ### ج) محاسبه احتمال $athbf{P}(athbf{A})$ $$\mathbf{P}(\mathbf{A}) = \frac{\mathbf{n}(\mathbf{A})}{\mathbf{n}(\mathbf{S})} = \frac{3!}{7!} = \frac{6}{5,040} = \mathbf{\frac{1}{840}}$$ **نتیجه:** احتمال اینکه پرچم‌های با شمارهٔ اول در جایگاه مطابق با شماره خود باشند، $\mathbf{1/840}$ است.